Исходные условия
Чтобы считать честно, договоримся об условиях. Они соответствуют тому, как устроены расклады на сайте.
- В колоде 78 карт: 22 Старших аркана и 56 Младших. Подробнее о делении — в статье о Старших и Младших арканах.
- В одном раскладе карты не повторяются: каждая следующая берётся из оставшихся.
- Порядок важен, потому что у каждой позиции своё значение.
- Каждая карта ложится перевёрнутой с вероятностью 30 %, независимо от того, какая это карта.
- Карта дня каждый день тянется из полной колоды заново.
Все числа ниже посчитаны точно, в обыкновенных дробях, а затем проверены моделированием на Python: 300 000 случайных раскладов дали те же значения с точностью до десятых долей процента.
Сколько всего бывает раскладов
Три карты
На первую позицию может лечь любая из 78 карт, на вторую — любая из 77 оставшихся, на третью — любая из 76. Число упорядоченных раскладов:
78 × 77 × 76 = 456 456.
Если учитывать положение, у каждой карты два состояния: прямое и перевёрнутое. Для трёх карт это 2³ = 8 вариантов, и раскладов становится 456 456 × 8 = 3 651 648.
Вероятность перевёрнутого положения 30 %, а не 50 %, поэтому эти варианты выпадают с разной частотой. Но количество различных раскладов от этого не меняется.
Десять карт
Для «Кельтского креста» рассуждение то же, только множителей десять:
78 × 77 × 76 × 75 × 74 × 73 × 72 × 71 × 70 × 69 = 4 566 176 969 818 464 000, то есть около 4,6 · 10¹⁸.
С учётом положения умножаем на 2¹⁰ = 1024 и получаем 4 675 765 217 094 107 136 000, около 4,7 · 10²¹.
Чтобы почувствовать масштаб: если раскладывать по миллиону «Кельтских крестов» в секунду, перебор всех вариантов даже без учёта перевёрнутых карт занял бы около 145 тысяч лет.
Как часто выпадает конкретная карта
Возьмём одну карту, например Башню. В карте дня её шанс 1/78, около 1,28 %.
В раскладе из трёх карт каждая из 78 карт с равными шансами оказывается среди трёх выбранных, поэтому вероятность равна 3/78 = 1/26, около 3,85 %. Тот же результат даёт расчёт через дополнение: вероятность, что Башни нет ни на одной позиции, равна 77/78 × 76/77 × 75/76 = 75/78, а 1 − 75/78 = 3/78.
В раскладе из десяти карт вероятность 10/78 = 5/39, около 12,82 %. Иначе говоря, конкретная карта появляется примерно в каждом восьмом «Кельтском кресте».
С учётом положения в раскладе из трёх карт Башня выпадает прямой с вероятностью 3/78 × 0,7 ≈ 2,69 % и перевёрнутой с вероятностью 3/78 × 0,3 ≈ 1,15 %.
Хотя бы один Старший аркан в трёх картах
Здесь удобнее считать от обратного. Вероятность, что все три карты окажутся Младшими арканами:
56/78 × 55/77 × 54/76 = 166 320 / 456 456 = 90/247 ≈ 36,44 %.
Значит, хотя бы один Старший аркан выпадает с вероятностью 1 − 90/247 = 157/247, около 63,56 %. Полное распределение для трёх карт:
| Старших арканов в раскладе | Вероятность |
|---|---|
| ни одного | 36,44 % |
| один | 44,53 % |
| два | 17,00 % |
| три | 2,02 % |
В среднем в трёх картах 3 × 22/78 ≈ 0,85 Старшего аркана. В «Кельтском кресте» хотя бы один Старший аркан появляется в 97,17 % случаев, а в среднем их 2,8.
Повторы карты дня и парадокс дней рождения
Теперь главный вопрос: какова вероятность, что за 30 дней хотя бы одна карта дня выпадет дважды? Снова считаем от обратного. Вероятность, что все 30 карт окажутся разными:
78/78 × 77/78 × 76/78 × … × 49/78 ≈ 0,00157, то есть 0,157 %.
Значит, хотя бы один повтор случается с вероятностью около 99,84 %. Месяц без повторов — почти невероятное событие.
Это частный случай известного парадокса дней рождения: в группе из 23 человек вероятность, что у двоих совпадёт день рождения, уже больше 50 %. Для колоды из 78 карт порог наступает гораздо раньше:
| Дней подряд | Вероятность хотя бы одного повтора |
|---|---|
| 7 | 24,2 % |
| 10 | 45,2 % |
| 11 | 52,2 % |
| 14 | 71,1 % |
| 20 | 93,1 % |
| 30 | 99,84 % |
Интуиция ошибается, потому что сравнивает каждый день с одной конкретной картой. На деле сравниваются все пары дней. За 30 дней таких пар 30 × 29 / 2 = 435, и каждая совпадает с вероятностью 1/78. В среднем за месяц набирается 435/78 ≈ 5,6 совпадающих пар.
Ещё несколько чисел для карты дня:
- Если считать повтором только ту же карту в том же положении, вариантов 156, и вероятность повтора за 30 дней всё равно около 94,9 %.
- Вероятность, что хотя бы раз за месяц одна и та же карта выпадет два дня подряд, около 31,2 %.
- За 30 дней вы увидите в среднем около 25 разных карт.
- Чтобы увидеть все 78 карт, понадобится в среднем около 385 дней. Это значение 78 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/78) из классической задачи о собирателе купонов.
Два расклада на один вопрос
Вероятность, что два независимых расклада по три карты будут иметь хотя бы одну общую карту:
1 − C(75, 3) / C(78, 3) = 1 − 67 525 / 76 076 ≈ 11,24 %.
Здесь C(n, 3) — число способов выбрать три карты из n без учёта порядка. В 89 % случаев второй расклад не повторит ни одной карты первого. Поэтому повторный расклад не «проверяет» первый, о чём подробнее рассказано в статье о частоте раскладов.
Что из этого следует
- Повторы — норма. Если карта дня выпала второй раз за неделю, это ожидаемое событие, а не особый знак.
- Память избирательна. Повторы бросаются в глаза, а сотни раз, когда карта не выпала, никто не замечает.
- Повтор всё же полезен. Не как предупреждение, а как повод вернуться к теме и посмотреть, изменилось ли ваше отношение к ней. Как это делать, рассказано в статье о работе с картой дня.